Laboratorio 2: Transformaciones Geométricas

Interpolación:

Es el proceso mediante el cual podemos obtener valores numéricos que no son conocidos mediante la utilización de algoritmos que permiten este proceso.

De modo que calcularemos la intensidad de cada píxel utilizando la siguiente expresión:

Para Probar los algoritmos que se describiran acontinuación utilizaremos la siguiente imagen:

• Interpolación por vecino más próximo

Es el mas básico de los algoritmos de interpolación el cual considera el píxel mas cercano al punto (x,y) de los cuatro que lo rodean; podemos utilizar distancia euclidiana para el calculo de las distancias entre pixeles y su núcleo de interpolacion esta dado por:

Resultados obtenidos luego de aplicar este algoritmo:

• Interpolación Bilineal

El núcleo de interpolación para la interpolacion bilineal esta dado por:

El resultado de aplicar este algortimo es:

• Interpolación Bicúbica:

El núcleo de interpolación para la interpolacion bicúbica esta dado por:
Si aplicamos esta Interpolación obtenemos:
Notamos que esta interpolación es mucho mejor que las 2 anteriores, ya que utiliza la información de los 16 vecinos del punto que se está interpolando.

Transformaciones Elementales:
• Traslación
Es una transformación muy simple que consiste en desplazar la imagen en una cierta cantidad de píxeles tanto en vertical como en horizontal. Por tanto a un píxel (x,y) le corresponderá un (x’,y’) que es el mismo (x,y) sumado con el desplazamiento que se desea (x0,y0).

El resultado luego de aplicar el algoritmo es el siguiente:

· Rotación

Es la transformación que permite rotar una imagen un determinado angulo, cuando estemos hallando a que píxel corresponde el (x,y) de la imagen girada nos dará un (x’,y’) donde x’ e y’ no serán necesariamente enteros. Esto nos obliga a tener que hacer una interpolación.

Veamos que aspecto tiene la ecuación matricial de un giro:

Luego de aplicar el algortimo es resultado es el siguiente:


· Escalamiento:
Se define mediante la siguiente matriz utilizando coordenadas homogeneas


Resultado luego de aplicar el algoritmo

Generalización de las Transformaciones: (Transformadas Generales)

*Transformada Afín:
Consiste en aplicar a una imagen: Traslación, Rotación y Escalación.
Utilizamos coordenadas homogéneas para definir la Transformada Afín:
donde las nuevas posiciones i' y j' serían:
Probaremos la T. Afín con la siguiente imagen:
con los valores: Tx=10 Ty=50 Sx=2 Sy=2 ángulo=35
y obtenemos la siguiente imágen como resultado:
La transformada afín nos servirá para el Registro entre Imágenes que veremos a continuación.

*Registro entre Imágenes:

El Algoritmo consiste en identificar puntos homólogos entre ambas imágenes, para construir las siguientes matrices:

Donde C almacena las posiciones las posiciones (i,j) de la imagen original, bx la posición transformada de i: i’, y by la posición transformada de j: j’.

Al aplicar la técnica de los mínimos cuadrados, descomponiendo primeramente en una descomposición singulares de la matriz C (llamada descomposición SVD). Para resolver las ecuaciones C = ax * bx y C = ay * by, y de esta forma hallar los parámetros de la transformada afín:

Ejemplo:
Dada la siguiente Imagen A:
Y la Imagen B:
Y al aplicar la técnica de los mínimos cuadrados hemos obtenido los siguientes valores de la transformada afín que hizo la transformación:
Ahora, si deseamos podemos aplicar una transformación afín con los valores hallados ax y ay a una nueva imagen C:


Con lo cual obtenemos una nueva imagen D que se asimila a la imagen B.

Por lo tanto confirmamos que el algoritmo de “Registro entre imágenes” es correcto.